三角函數

 

三角函數須知理論

三角函數條件: 直角三角形, 若其相通, 其邊長成比例.

 

定義: 如圖一設 , q 的夾角, sin q = 對邊/斜邊, cos q =鄰邊/斜邊, tan q = 對邊/鄰邊, cot q = 鄰邊/對邊, sec q = 斜邊/鄰邊, csc q = 斜邊/對邊, 以邊長來表示如下: ,,  , ,,.

 

公式: 由上可得 (1) ;  (2) ;  (3)  ; (4) ; (5) ; (6) ; 由圖二得, ; (7)  ; (8) ; (9)  ; (10) .

(11) 證明

: 1-tan2q=1- 

(12) 證明

 

直角三角形邊長與特別角(30°,60°,45°)的比率關係式:

 

直角三角形30°,60°,90°的邊長比率:

如圖三, 直角DABC,ÐB於一點D,使ÐABC=60°, ÐDBC=30°. 並令DABD為正三角形, 又因DBCD為等腰三角形, 由畢氏定理,

如圖四, DABC為等腰直角中,

 

(*如下內容觀念正確, 但悉數內容, 須配合上課用邏輯推理的動作所學根本觀念加以訂正.)

三角函數的倍角ˋ和角與差角公式:

 

(1) 和角公式.

: DABC, , DABD, 如右圖, DBCD,  ,  , DABC的面積,DABC的面積, (5)=(6)  , DABC,    .

(2) 倍角公式.

 

(3) , (1).

 

另解1: 直角三角形, 斜邊的長 = 1, 夾角=, 對邊的長= ,由畢氏定理, (鄰邊的長)2    =鄰邊的長.

 

另解2: , 在作E, 使. 並設1. 為直角, 相稱(對等角), 相稱  DACDDBDE相通.   DBDE, , DACDDBED相通,

 

(4) .

(5) 差角公式.

(6) 證明 

(7) 證明

 

廣義角的定義😦 如圖五 )

 

(三角比值)  \ (項限)

I

II

III

IV

sinq

y

+

+

cosq

x

+

+

tanq

+

+

cotq

+

+

secq

+

+

cscq

+

+

 

 

應用三角函數證明以下常用三角函數值:

 

 

函數\角度

      

 

 

30°

45°

60°

15°

75°

22.5°

18°

sinq

cosq

tanq

1

 

 

三角函數的餘弦定理:

 

設一銳角DABC,, 的夾角為a, ,取一點D,使., 同理. 由畢氏定理,      , .留神: 須證明直角及鈍角三角形時餘弦定理亦創建, 則餘弦定理創建. 此證明留為習題.

 

 

三角函數的正弦定理:

 

設一銳角 DABC,, 的夾角為,的夾角為,的夾角為. ,取一點D,使. DACD, , DBCD, . 得在,  (1)(2)  , ,同理,   . 留神: 須證明直角及鈍角三角形時正弦定理亦創建, 則正弦定理創建. 此證明留為習題.

 

 

三角函數的運用:

(1)  如圖七證明在DABC, 等以其外接圓的直徑.

: A點過圓心作交圓於D. 令直徑d, 並設. DACD DABD為直角三角形? ¼(由餘弦定理)     ¼(,)   ,又因圓的直徑.

 

(2)   DABC的邊長為a,b,c, S DABC的面積, 證明等以DABC外接圓的直徑的兩倍.

: 如圖八, , , 由上題(1) 圓的直徑 , 故得等以DABC外接圓的直徑的兩倍.

 

(3) 海龍公式: 的面積,

由餘弦定理,的面積

 

(4) *內切圓的半徑

*的邊長為,由海龍公式,其內切圓的半徑為

(5) *內切圓的半徑與其外接圓的半徑的比率?

外接圓的半徑=其內切圓的半徑為

 

(6) 平面上兩線, L1其斜率為m1 L2其斜率為m2, 若兩線夾角為 a, ¹90°,證明

 

1: L1L2交於一點A, L1x軸於B, L2x軸於C.  外角等於內角和. tan(A)=tan(B+C)=. (, .因兩夾角互補,   .

 

2: (如圖九)L1L2交於一點A, L1x軸於B, L2x軸於C. , 並令DABD, ; DACD, , 由餘弦定理得, (1)  因兩夾角互補,  

 

(7) 證明平面一點 至不停線的距離為

: y0 由上題得, 由圖十至該線的距離.   因三角形的邊長恆正, 為其距離.

 

(8) 不平行於,, 交角之平分線方程式為

: (x,y)交角之平分線上的任一點, (x,y)的距離相稱. (4)

 

(9) 三角形ABC之周長20; 內切圓半徑為2,

(10) 證明 ( 中線定理 )DABC, 之對邊長為a,b,c,且此中線長為ma, mb, mc, 

 

(11) 證明 ( 投影定理 )DABC, 之對邊長為a,b,c,

(12) 證明 ( 平行四邊形定理 ) 平行四邊形ABCD,其對角線長的平方多麽於四邊長平方和. 換言之

 

(13) 證明 (四邊形面積公式) 如未便四邊形ABCD,其對角線夾角q ,則其面積公式為

 

(14) 證明 (弧長與扇形面積公式) 如圓弧當核心角度為q ,此稱為弧度, 若半徑為r,則其弧長為rq. 並其扇形面積為

: 相通三角形畢氏定理(請參閱平面上的線), 角度的定義.

 

三角函數的倍角ˋ半角ˋ和角與差角公式應用:

1) 證明

:   

 

2) 證明

3) 證明

4) 證明

:  

sin20° sin40° sin80°   ,sin20° sin40° sin80°


5)
證明

6) 證明

:

7) 證明

8) 證明

9) 證明

10) 證明

11) 證明

12) 之值.

 

三角函數的和差與乘積互換之關係式:

1)      證明 

2)      證明 

 

三角函數的正弦與餘弦公式應用:

1)      證明此中此中故得

 

非直角三角形(DABC)之三角函數應用:

 

1)      證明

2)      證明

3)      證明

 

:  DABCÐA+ÐB+ÐC=180°, C=180°-(A+B),  

 

4)      證明

5)      證明

6)      證明

 

反三角函數: 證明如下反三角函數的關係式.

 

1)      正弦的反函數

設正弦的反函數sin-1:[-1,1]®  a. , sin-1(sinx)=x. b. , sin (sin-1x)=x.

 

2)      餘弦的反函數

設餘弦的反函數cos-1:[-1,1]®  a. , cos-1(cosx)=x. b. , cos (cos-1x)=x.

 

3)      正切的反函數

設正切的反函數tan-1:R®  a. , tan-1(tanx)=x. b. , tan (tan-1x)=x.

 

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